Un viaje dorado del patio del Belvedere a la Catedral de Burgos.
Este artículo ha ganado el Tercer Premio del VI Concurso de Artículos de Divulgación Científica de la Universidad de Burgos.
Autores: Sinuhé Perea Puente, Josué Perea López.
Introducción
Las catedrales medievales europeas son un testimonio excepcional de los avances que se produjeron en diversas disciplinas durante el medievo, desde la arquitectura hasta las ciencias exactas, como las matemáticas, la física, la química, la ciencia de materiales y la ingeniería. Estos avances contribuyeron en gran medida a la gestación de la revolución renacentista en la Europa mediterránea.
En este sentido, nos centraremos en dos elementos de la Catedral de Burgos: la escalera dorada y el rosetón del Sarmental, y exploraremos su belleza a través de un enfoque matemático. Las proporciones y simetrías de estos elementos siempre han buscado una cierta belleza pura, y las ciencias exactas nos brindan un punto de apoyo excepcional para explorar su esplendor. Como dijo el filósofo y matemático inglés Bertrand Russell:
«Las matemáticas poseen no solo la verdad, sino también una belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura».
A través de una breve introducción a las proporciones y los números metálicos, exploraremos las sucesiones aritméticas y geométricas presentes en estos dos elementos de la catedral, llegando incluso a descubrir una solución errónea a un problema que no se discutiría en Europa hasta ¡dos siglos después! Así, nuestro enfoque matemático nos permitirá (re)descubrir la divina proporción y los números imaginarios en la Catedral de Burgos, demostrando una vez más la rica historia del arte y la ciencia en Europa durante el medievo.
El ritmo de los metales
En la exploración de las estructuras arquitectónicas de la Edad Media, se busca descubrir patrones rítmicos que fueron concebidos por los hábiles arquitectos mediante el uso de sucesiones aritméticas y geométricas. En particular, se presta atención a los números metálicos debido a su relación con elementos humanos y de la naturaleza. Los números metálicos son, en su mayoría, números irracionales que confieren una naturaleza dinámica a las estructuras arquitectónicas.
Esto se contrapone con aquellas proporciones que son números enteros, más estáticos, como los patrones de damero o baldosines. Los números metálicos son soluciones de la ecuación algebraica cuadrática, donde el valor de «p» es un número entero.
x2 +px+1=0
Para «p» igual a uno, el resultado de la ecuación recibe el nombre de número áureo, número de oro o phi (φ), en honor al escultor griego Fidias. Este número se encuentra presente en muchos elementos de la naturaleza, como patrones de crecimiento de vegetales y conchas marinas, crecimiento de poblaciones, proporciones en el cuerpo humano y elementos geométricos como el pentágono. Además, se asocia con la estética y se utiliza, por ejemplo, como razón de proporción en documentos de identidad, tarjetas de crédito o cánones de belleza.
En el caso de «p» igual a dos, el resultado se conoce como número de plata y se relaciona con elementos rectangulares, ya que está asociado con la raíz de dos, que es la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado. Valores superiores de «p» dan lugar a los números de bronce, cobre o níquel, respectivamente.
Así, nuestra primera sorpresa surgió cuando nos pusimos a estudiar la escalera dorada [1]. Gracias a una conversación con el catedrático René Payo, vimos que la inspiración de esta escalera es papal. De nuevo, todos los caminos llevan a Roma.
La estructura que se describe en los textos es el antiguo Patio del Belvedere en el Palacio del Vaticano, construido entre 1558 y 1561 por el arquitecto italiano Donato Bramante, en colaboración con el Papa Julio II [2]. Esta estructura consistía en un enorme patio cerrado que unía los cuartos medievales del palacio con una casa de verano, llamada Belvedere por su impresionante vista, que había sido construida en la cima de la colina del Vaticano por el Papa Inocencio VIII. El dibujo de Giovanni Antonio Dosio (modificado más abajo), también arquitecto y trabajó en Roma entre 1548 y 1575, muestra el patio en construcción. En el dibujo, se puede ver que la ala oeste del Patio del Belvedere aún no había sido construida.
En la figura, se puede observar como la proporción intra e inter escalinatas guarda la relación metálica de oro. Es más, las propias secciones y dimensiones de alto-ancho guardan un patrón autosemejante similar, demostrando el sofisticado gusto matemático de la época (o una excelsa imaginación por parte de los autores). La inspiración, no obstante de la obra capitolina en la obra burgalesa resulta patente, así como de por qué el número áureo es un ejemplo de cómo los seres humanos (y la naturaleza) buscan patrones y proporciones estéticamente agradables o que describan el crecimiento en el mundo que los rodea y cómo han tratado de replicarlos en sus propias creaciones.
Sin embargo, nuestra catedral todavía alberga más secretos (matemáticos). En la fachada del Sarmental de la Catedral, en la Figura 2, hemos resaltado las circunferencias correspondientes a la siguiente sucesión:
Tomando como unidad de medida la circunferencia correspondiente al círculo interior máximo en verde, se puede demostrar que la mayoría de los radios dibujados para diferentes valores de «p» coinciden exactamente con los elementos representados en el mismo. Una demostración para los casos «p» igual a 2 y 3 se puede encontrar en [3], correspondientes a figuras en verde.
Sin embargo, lo más interesante ocurre cuando «p» es igual a 1 (Figura 2d). En este caso, el resultado de la operación es un número complejo, la raíz cuadrada de un número imaginario (√(1-φ)/2 ≈ 0.39i), que no se puede dibujar, ya que es imaginario.
¿Cuál es entonces el valor real del radio dibujado en celeste? Pues es el valor absoluto de esta operación dividido por dos. Esto nos da una propuesta para la unidad imaginaria «i».
Aunque erróneo, el resultado es interesante porque mantiene la idea de dividir en dos partes iguales a través de la raíz cuadrada. Además, resulta sorprendente porque este concepto matemático no se descubriría o inventaría formalmente hasta varios siglos después. En la figura en celeste (Figura 2.e), se muestran los primeros pasos para la construcción del rosetón con regla y compás.
Siguiendo la inspiración de propuestas anteriores [4], se ha creado una plataforma colaborativa enfocada en la enseñanza de la Física y la Química en los distintos monumentos y lugares de interés de la Comunidad. Esta plataforma busca aprovechar el trabajo de muchos profesores desinteresados que preparan actividades y preguntas que enriquecen la experiencia educativa fuera del aula. En esta ocasión, la plataforma se centra en las distintas catedrales europeas y llamada ARGOS: Aritmética en los Rosetones Góticos.
Algunas reflexiones finales
Es imposible saber con exactitud lo que pasaba por la mente de los arquitectos e imagineros de la Edad Media, por lo que la aproximación presentada en este artículo es completamente especulativa. Sin embargo, desde el punto de vista matemático, las conclusiones presentadas son coherentes entre sí; la búsqueda de la belleza en lo humano y su relación con las matemáticas era común en la Edad Media.
En este sentido, resulta sumamente interesante (aunque probablemente erróneo) la aproximación a los números imaginarios en la Catedral de Burgos. Esto sugiere que, como se decía en la época, solo Dios es perfecto y por ello los arquitectos solían cometer un error intencional en cada construcción para demostrarlo. La Escalera Dorada es otro ejemplo de esta búsqueda de la belleza griega, occidental, y sigue siendo uno de los elementos más queridos de los Burgaleses.
Breve bibliografía
[1] R. Lena, J Matesanz, R.J. Payo, La catedral de Burgos y Fernán González: visiones académicas (2021) Real Academia Burgense de Historia y Bellas Artes.
[2] M. Sánchez Sorondo The Casina Pio IV in the Vatican. Historical and Iconographic Guide Historical and Iconographic Guide (2010).
[3] Sociedad Castellana y Leonesa de Educación Matemática “Miguel de Guzmán” Tesoros matemáticos de la catedral de Burgos (2021) Editorial Caja Rural Burgos.
[4] J. Perea-López FYQVS: Física y Química Vivaz en Secundaria. Creación de un Aula-Museo Centro Interactivo de la Cultura Científica IES Odra Pisuerga (2020).
