Autor: Iván Gutiérrez Sagredo.
El objetivo último de la física teórica es construir una teoría del todo, es decir, una teoría que describa el comportamiento exacto del universo en su conjunto. Precisar lo que esto significa no es tarea fácil, mucho menos encontrar dicha teoría. La primera simplificación razonable parece ser considerar un subconjunto del universo, lo que se suele denominar sistema. Sin embargo esto no es suficiente, y con frecuencia necesitamos simplificar más. Consideramos entonces no un sistema real, sino un sistema idealizado (una abstracción) que capture las características más relevantes de nuestro sistema real. Es decir, el procedimiento habitual de la física teórica es estudiar abstracciones simplificadas de subconjuntos de nuestro universo. Esta forma de proceder queda bien ilustrada en la vaca esférica.
Es aquí donde el concepto de simetría hace su aparición. Creo que todo ser humano, aun no habiendo recibido ninguna educación al respecto, sería capaz de apreciar que una esfera es más simétrica que una vaca. La idea clave aquí está en darse cuenta que esta simetría puede simplificar de forma asombrosa la descripción del objeto en cuestión. Siguiendo con el anterior ejemplo, en el colegio nos enseñan que una esfera está formada por el conjunto de los puntos ( x , y , z) que verifican la relación x2+ y2 + z2=r 2 , donde r es el radio de la esfera. O dicho de otra forma, una esfera es el conjunto de los puntos cuya distancia al origen es constante. Ahora bien, ¿alguien sería capaz de dar una descripción similar de una vaca? Incluso admitiendo una descripción más complicada, dudo que alguien (hoy en día) pudiese describir perfectamente una vaca.
La discusión anterior nos está diciendo que efectivamente una esfera es mucho más sencilla que una vaca, y por desgracia (o por suerte
más bien1) el universo en el que vivimos está formado por vacas y no por esferas. Por lo tanto la pregunta clave aquí es si abstracciones sencillas (esferas) son capaces de darnos información sobre la realidad (vacas). Si la respuesta a esta pregunta fuese negativa, nuestras esperanzas de avanzar en el conocimiento del universo se verían seriamente comprometidas. Para nuestra suerte, la respuesta es claramente afirmativa. Buena prueba de ello es que los aviones vuelan: cuando se diseña un avión todo lo que se tiene en cuenta2 son una serie de ecuaciones de la física, que no solo son idealizaciones de los fenómenos que describen, sino que en muchos casos se resuelven de forma aproximada mediante métodos numéricos implementados en ordenadores (y a su vez un ordenador no es más que una realización física de una abstracción propuesta por A. Turing, conocida como máquina de Turing).
En lo anterior he querido dar una intuición de que las simplificaciones son un elemento fundamental, y muy útil, en física. Consideremos a partir de ahora las simplificaciones que vienen de consideraciones de simetría, y en particular en física teórica. Uno de los teoremas más profundos en física, probado por Emmy Noether en 1915, establece que, bajo ciertas condiciones técnicas, a cada simetría de un sistema físico le corresponde una cantidad conservada. Entre las condiciones de este teorema se requiere que la simetría sea diferenciable. En breve veremos lo que esto significa, pero antes vamos a considerar las tres conclusiones más conocidas de este teorema:
- A la simetría de traslación (el sistema es independiente de su posición en el espacio) está asociada la conservación del momento lineal.
- A la simetría rotacional (el sistema es independiente de su orientación en el espacio) está asociada la conservación del momento angular.
- A la simetría temporal (el sistema es independiente de su posición en el tiempo) está asociada la conservación de la energía.
Con estos ejemplos se ve claramente que este teorema relaciona de manera muy clara la geometría del sistema (y del espacio donde se mueve el sistema) con cantidades físicas bien conocidas (y útiles).
Vamos a profundizar un poco en este teorema, para lo que será útil introducir el concepto de Lagrangiano, que podemos considerar como una función que describe completamente nuestro sistema (es decir, el Lagrangiano es la abstracción que usamos para describir nuestro sistema). Una vez que hemos conseguido una descripción matemática de nuestro sistema (lo cual es bastante difícil en general), podemos formular de forma precisa lo que entendemos por simetría. Definimos como simetría de un sistema físico cualquier transformación de dicho sistema que no modifica el comportamiento físico de dicho sistema.
- La vida es un fenómeno muy complejo. Si el universo estuviese formado únicamente por estructuras sencillas, podría ser relativamente fácil encontrar la esperada teoría del todo, ¡pero no existiría nadie lo suficientemente complejo como para desarrollarla!
- Esto no es rigurosamente cierto, también se tienen en cuenta consideraciones económicas, de modo que el vuelo del avión sea rentable. Obviaremos esto aquí (y nótese que esto ya es una simplificación que estamos haciendo).
Por ejemplo, en el colegio nos enseñan a calcular el movimiento de caída de una piedra si la dejamos a un metro del suelo. Pues bien, si nos movemos dos pasos hacia la derecha y volvemos a dejar caer la piedra el resultado es el mismo, lo cual indica que nuestro sistema es invariante bajo traslaciones paralelas al suelo. De hecho si giramos sobre nosotros mismos antes de dejar caer la piedra el resultado sigue siendo el mismo, lo cual indica que el sistema también es invariante bajo rotaciones alrededor del eje perpendicular al suelo, y si esperamos tres días antes de soltar la piedra el resultado se mantiene igual, lo cual indica que nuestro sistema es invariante bajo traslaciones temporales3.
De forma algo más abstracta, podemos decir que una simetría es una transformación que deja invariante nuestro Lagrangiano. Con los ejemplos anteriores debería ser claro que estudiar el conjunto de simetrías de nuestro sistema nos aporta información relevante. Y resulta que en muchos casos las simetrías de los sistemas físicos forman estructuras matemáticas que se conocen como grupos, lo que esencialmente significa que si aplicamos dos de dichas transformaciones el resultado sigue siendo una simetría, y que cada simetría tiene una simetría inversa. En el caso de que las simetrías sean continuas tenemos un grupo de Lie. Veámoslo con el ejemplo de la esfera: si rotamos todos sus puntos alrededor de cualquier eje que pase por el centro de la esfera ésta no se modifica. Además, si componemos dos de estas rotaciones el resultado es una rotación, y la inversa de una rotación sería rotar el mismo ángulo pero en sentido inverso. Este grupo se conoce como SO ( 3) . De hecho, trasladar la esfera en cualquiera de las tres dimensiones una determinada distancia también da como resultado una esfera. Traslaciones y rotaciones forman el grupo euclídeo, denominado E (3)=ISO( 3) , que es el grupo total de simetrías continuas del espacio euclídeo tridimensional (grupo de isometrías).
Demos un salto y pasemos a la teoría de la relatividad general propuesta por Albert Einstein en 1915. Todo lo que necesitamos saber de ella para lo que sigue es que considera el universo como un espaciotiempo de cuatro dimensiones, las tres espaciales más una temporal, sobre el que se tiene una métrica, que simplemente nos dice cómo medir distancias. Igual que las simetrías del espacio euclídeo nos dan información sobre sistemas que viven en él (como nuestra esfera), el grupo de isometrías del espaciotiempo de la relatividad general nos da información sobre los objetos que viven en él (es decir, de todos los objetos del universo).
3 Sabiendo lo anterior: ¿cuáles serían las cantidades conservadas correspondientes a cada simetría? Nótese que en todo lo anterior se considera una piedra puntual en un campo gravitatorio uniforme, claramente una idealización (el problema real sería realmente complicado).
Si intentamos combinar la relatividad general con la otra gran teoría física del siglo XX, la mecánica cuántica, que describe el universo a escalas muy pequeñas, para obtener lo que se conoce como teoría de la gravedad cuántica, surgen problemas que hasta la fecha no hemos sido capaces de resolver. La obtención de esta teoría de gravedad cuántica es el reto más complicado de la física teórica actual. Algunos de los intentos de encontrar dicha teoría son la teoría de cuerdas, teoría cuántica de lazos, conjuntos causales, geometría no conmutativa…
En este último campo, el de la geometría no conmutativa, y utilizando técnicas que emplean fundamentalmente deformaciones de simetrías espaciotemporales, trabaja el grupo de Física Matemática de la Universidad de Burgos. Por ejemplo, construyendo modelos de espaciotiempo en el que sus coordenadas no conmutan entre sí: ¡si primero vamos a la izquierda y luego hacia delante no llegaríamos al mismo lugar que si primero vamos hacia delante y después hacia la izquierda! Obviamente esto solo es válido para distancias muy pequeñas. En cualquier caso, aclarar si estos modelos no conmutativos son correctos es un papel que le corresponde a futuros experimentos.
